【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

【资料图】

第三章光学器件

【山话|| 本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】

§3-6透镜

【01】前面讨论了光线通过平行透明板和棱镜这两种透明体的情况，这两种透明体的折射面都是平面，如果，透明体的折射面不是平面而是球面，或者一面是球面另一面是平面，那么，光线经过它的时候，情况又会怎样呢？下面就分几种情况来加以讨论。

1、透镜

【02】折射面是球面，或者一面是球面，另一面是平面的透明体，称做透镜。中央比边缘厚的透镜，称做凸透镜。中央比边缘薄的透镜，称做凹透镜。

【03】凸透镜或凹透镜的两个球面的半径，可以相同，也可以不相同。图3·34和图3·35所示的就是几种不同形状的凸透镜和凹透镜。

【04】实验的结果表明：平行光投射在凸透镜上，经过折射以后，光线就会聚在一点上。如图3·36所示，让一个凸透镜迎着太阳光，光线就会会聚起来，在光线会聚的地方放一个小纸条，过一些时候，纸条就会被烧焦，如果太阳光很强，或经历的时间足够长，纸条甚至会烧起来。

【05】平行光经过凹透镜折射以后，光线就会向外发散，成为发散光束；所以，我们又常常把凸透镜称做会聚透镜，而把凹透镜称做发散透镜。

【06】如图3·37所示，凸透镜很象两个底对着底的棱镜的组合，平行光通过这一对棱镜的时候，对于每一个棱来说，都要使折射光线向它的底面偏折，所以最后把平行光会聚起来；凹透镜很象两个顶对着顶的棱镜的组合，平行光通过这样一对棱镜的时候，同样也要向棱镜的底面偏折，由于它们是顶对着顶组合起来的，所以折射以后，平行光束就向外散开，成为发散光束了。

【07】一个凸透镜能够把平行光束会聚于一点（或一个很小的区域），而一对底对着底的棱镜，却只能把光会聚起来，而不能使会聚在一点上；同样，一个凹透镜能够把平行光束发散开来，好象光线是从某一点发射出来的一样，而一对顶对着顶的棱镜，却不能做到这一点。由于凸透镜和凹透镜有着良好的改变光路的性能，从物体射出的光线，经过透镜的折射以后，在不同的情况下，可以形成不同性质、位置、大小的象，所以它们是光学仪器中较重要的器件。

【08】仔细分析起来，可以认为一个透镜是顶角大小不同的许多被截去了顶的棱镜的组合。如图3·38所示，组成凸透镜的许多棱镜是底面朝着透镜的中央排列的，组成凹透镜的许多棱镜是底面朝着透镜的边缘排列的。它们共同的特点是：越靠近透镜的中央，组成透镜之棱镜的顶角也越小，因而光线穿过它的时候，偏向角 δ 也越小；透镜正中央那一部分，顶角等于零，可以看成是一小块平行玻璃板，光线通过它时，方向不会改变，只会发生侧移；如果透镜是很薄的话，那么，这种侧移也是很小的。平行光束射到凸透镜上，折射以后，就会使光束会聚于一点或一个很小的区域里；平行光束射到凹透镜上，折射以后，就会发散开来，好象是从某一点发出来的一样。

【09】一个透镜中央部分的厚度（就是透镜两球面上中心点之间的距离，如图3·39中的 O₁ 和 O₂）如果比两个球面半径小很多，这样的透镜就叫做薄透镜。我们以后所讨论的都是薄透镜。薄透镜两球面的中心点离得很近，故可以近似地看成是重合成为一点 O，凡是通过 O 点的光线，都相当于通过平行透明板一样，不改变原来的方向，且所发生的侧向位移也可以忽略不计，这一点 O 称做透镜的光心，如图3·39所示。任何通过光心的直线，称做透镜的光轴。通过球心 C₁C₂ 的光轴，称做透镜的主光轴（简称主轴），其他的光轴都称做为副光轴（简称副轴）。

【10】严格地说，光心的位置是由透镜两个折射面的曲率半径来决定的，而并非总跟透镜的中心相重合。一般求单个透镜光心的方法是这样的：设透镜两个折射面的球半径各为 r₁ 和 r₂，C₁ 和 C₂ 是这两个球面的球心，从球心 C₁ 引任意半径 C₁P，再从 C₂ 引另一半径 C₂Q，使 C₂Q // C₁P，连接 P、Q 和 C₁、C₂，它们相交于一点，这一点就是透镜的光心 O（见图3·40）。可以证明，光线通过这一 O 点时，方向总是保持不变的。设有一条入射光线，射到 P 点上，它入射的方向恰好满足：。其中 n 为透镜的折射率，∠r 就是 ∠C₁PO，C₁P 就是过入射点 P 的法线，由于 C₂Q // C₁P，所以有：∠a'＝∠r，∠a' 是光线从 Q 点射出玻璃进入空气时的入射角，根据折射定律和光路的可逆性，得。∵ ∠a'＝∠r，∴ ∠r'＝∠a，即光线从透镜射出去的方向，跟入射光的方向平行，也就是保持方向不变。

【11】从图中可以看出：由于△C₁PO∽△C₂QO（∵ C₁P// C₂Q，∠r＝∠a'，∠PC₁O＝∠QC₂O），所以有 OC₁:OC₂＝r₁:r₂ 。它的意义是：透镜光心的位置离开透镜两折射面的球心距离之比，等于两折射面的半径之比，如果 r₁＝r₂，则有 OC₁＝OC₂，也就是说，只有当透镜两折射面的曲率半径相等时，透镜的光心才跟透镜的中心相重合。

2、透镜的焦点、焦距和焦平面

【12】一束平行于主轴的近轴光线射到凸透镜上，经过折射以后，就会聚在主轴的某一点 F 上，这一点称做凸透镜的焦点。从焦点到光心的距离，称做透镜的焦距，表示焦距的符号是 f 。如果有一束平行于主轴的近轴光线射到凹透镜上，经过凹透镜折射以后，就向外发散，好象它是从主轴上的某一点发散出来的一样，这一点称做凹透镜的焦点。它离开光心的距离，也就是凹透镜的焦距。凹透镜的焦点是发散光束延长线的交点，不是光线实际会聚而成的，所以是虚焦点；凸透镜的焦点，是平行光束经过凸透镜折射以后，实际会聚而成的，所以是实焦点。习惯上把实焦点离开光心的距离（焦距）算作是正值；虚焦点离开光心的距离（虚焦距）算作是负值。

【13】透镜的焦距，对于透镜所在媒质（例如空气）来说，是一个定值，它是由组成透镜的材料（例如玻璃）对于透镜所在媒质的相对折射率和透镜两个折射面的曲率半径所共同决定的。【透镜的焦距可以用下述公式来计算：。式中 n 是光从媒质射入透镜的折射率，如果透镜是在空气中，n 也就是透镜的绝对折射率。r₁ 和 r₂ 是透镜两个折射面的曲率半径。如果是凸面，r 就取正值；如果是凹面，r 就取负值。应当注意，对于透镜来说，f ≠ r/2，即焦点并不在半径的中点上，这一点跟球面镜的情况是不相同的，不要混淆起来。】

【14】任何一个透镜，它的两侧都各有一个焦点，只要透镜两侧面所在的媒质相同，（一般的情况下都是相同的，例如透镜的两侧面都是空气）不管透镜两个折射面的曲率半径是否相等，两个焦点离开光心的距离（焦距）总是相等的。

【15】主轴上的焦点，称做透镜的主焦点。一束平行光如果沿着凸透镜的副轴方向射来，折射以后，就会会聚在副轴的某一点上；如果是射到凹透镜上，折射以后，它们延长线也相交于副轴的某一点上，这一点就称做透镜的副焦点。透镜的副轴可以有任意多根，所以透镜的副焦点也有无数多个，在主焦点周围不太大的范围内，这些副焦点和主焦点恰好处在同一个垂直于主轴的平面中，这个平面称做透镜的焦平面。图3·41表明：一个凸透镜在它的两侧各存在着一个焦平面。同样，在凹透镜的两侧，也各有一个主焦点，和通过主焦点并垂直于主轴的焦平面。

3、透镜的焦度

【16】凸透镜（会聚透镜）有使光线会聚的作用，凹透镜（发散透镜）有使光线发散的作用。在图3·42上比较了光线通过两组焦距不同的凸透镜时发生偏折的情况。上面一组透镜焦距比较长，下面一组透镜焦距比较短；同样的光束，经过焦距比较短的凸透镜时，发生偏折和会聚的程度比较显著。图3·43是两组焦距不同的凹透镜，下面一组凹透镜的焦距比上面一组透镜的焦距短；同样的光束，经过焦距比较短的凹透镜时，发生偏折和发散的程度也比较显著一些。总的说来，透镜的焦距越短，透镜使光线发生偏折的本领就越强，同时，焦距的倒数 1/f 数值也越大，所以，我们就用焦距的倒数来表示透镜折光本领的大小，这个物理量就叫做透镜的焦度，用符号 D 来表示它。

【17】焦度的单位是屈光度，规定焦距为 1 米的透镜，它的焦度叫 1 屈光度。凸透镜的焦距 f 是正值，它的焦度 D 也是正值；凹透镜的焦距 f 是负值，它的焦度也是负值。

【18】应该区别透镜的屈光度数和眼镜的度数，眼镜上的 1 度等于 1 屈光度的百分之一。